Сложность стратегии:    

При построении опционных торговых роботов я использую собственную модель обобщенных уравнений, ее вывод описан в статье, опубликованной в журнале Futures&Options за январь-февраль 2009 года. Ниже привожу ее полный текст.

В статье следует выделить две основные идеи:

Первая – это сознательный отказ от термина “волатильность”. Вместо него для измерения активности рынка предлагается использовать “подвижность” (m) – среднеквадратическую сумму движений базового актива (БА) за 1 торговый день.

У такой замены есть ряд преимуществ.

—  Подвижность можно использовать применительно к любым процессам, тогда как волатильность имеет смысл только для случайных процессов.

—  Подвижность – хорошо прогнозируемая характеристика рынка.

—  По значениям реализованной или прогнозируемой подвижности легко вычисляются затраты на дельта-хеджирование опционов (включая затраты на хеджирование ночных нэпов).

Если читателю не нравится термин “подвижность” и если он уверен в том, что поведение БА действительно подчинено случайному закону (на взгляд автора это сродни предположению о случайном поведении фигур на шахматной доске), от может везде заменять его термином “волатильность”, помня о простом соотношении  Volatility = Mobility/F*(nYear)^1/2*100%.

Вторая и главная идея – это попытка избавиться от необходимости использования многопараметрической (5-7 параметров) кривой волатильности.

Замечателен придуманный когда-то прием с использованием “Implied Volatity” (ожидаемой волатильности) опциона. Дальше начинается чистое мракобесие. Множество точек {IV(Strike)}, каждая из которых имеет ясный физический смысл, аппроксимируют чем-то, физического смысла не имеющим.  Из коэффициентов аппроксимирующих полиномов 6-7 и т.д.  степеней смысл есть только у нулевого (и, с натяжкой, у первого). Про используемую на FORTS перевернутую гауссову кривую и говорить не хочется (нет такого в природе! ).

Наша задача – не столько описать текущее состояние рынка (дойдя до абсурда, для точного описания можно использовать полином n+1 степени ,где n – число страйков), сколько предсказать его будущее поведение.

В обобщенной модели всего 3 параметра.

— m – подвижность гипотетического опциона со страйком, равным текущей стоимости БА (аналог IV ATM опциона)

— bc, bp – коэффициенты, определяющие кривизну кривых Call, Put. Они имеют понятный физический смысл. Коэффициент bc, к примеру, показывает, как, по мнению торговцев Call-опционов, подвижность опциона на деньгах (m) будет меняться при изменении (F) -стоимости БА:  m1 = m0 + bc*(F1-F0). То же самое справедливо для коэффициента bp.  Если в какой-то момент времени bc и bp сильно отличаются друг от друга, это показывает на возможность построения выигрышной комбинации из Call и Put опционов (Реализованный коэффициент b может быть только один).

Главная же цель работы – разработка модели, пригодной для автоматизации торговли опционами. С 3 параметрами эта цель достижима.

P.S. При выводе обобщенных формул использовались стохастические дифференциальные уравнения, сделано это исключительно для простоты выкладок. Те же самые формулы можно получить без предположения о случайном  поведении БА.  Доказательство становится сложнее.

Опционы. Новый взгляд

Виталий Курбаковский, статья в журнале Futures&Options №1-2, 2009

Опубликованная в 1973 году формула Блэка-Шоулза сыграла революционную роль в становлении и развитии рынка опционов. До сегодняшнего дня она и ее модификации, разработанные для опционов на различные базовые активы, входят в классический набор инструментов большинства опционных трейдеров.

Введение

Возникшие когда-то проблемы, связанные с тем, что классические формулы плохо описывали реальные рынки, были остроумно решены введением понятия ожидаемой волатильности опциона (IV Implied Volatility) – значением параметра волатильности, которое необходимо подставить в классическую формулу с тем, чтобы ее расчетное значение совпало с рыночной ценой. По сути, IV – это поправочный коэффициент, вычисляемый для каждой цены исполнения и призванный устранить любое расхождение между расчетной и рыночной ценами опциона.

Далее было предложено аппроксимировать совокупность коэффициентов, рассчитанных для всех цен исполнения, гладкой кривой, названной кривой ожидаемой волатильности (улыбкой волатильности). Выбор конкретного вида аппроксимирующей функции достаточно произволен. Обычно это полином 5 или 6 степени, хотя на российском срочном рынке FORTS для этих целей используется комбинация из перевернутой гауссовой кривой и кривой арктангенса. В любом случае для хорошей аппроксимации необходимо 5~7 свободных параметров. Понятно, что чем больше параметров использовано, тем точнее можно провести кривую через любой набор точек. Однако для целей торговли необходимо не столько описать существующую волатильность рынка, сколько предсказать ее дальнейшее поведение.

Ведь именно этим показателем торгуют опционные трейдеры.

Здесь возникает проблема. Свободные параметры, используемые только в целях подгонки, не несут в себе никакого содержательного смысла. Предсказать их дальнейшее поведение и, следовательно, будущую эволюцию кривой волатильности практически невозможно.

В настоящей статье предлагается новый подход к расчету справедливой стоимости опционов. Полученные формулы, названные обобщенными, с одной стороны, охватывают более широкий класс моделей ценообразования базового актива и потому включают в себя классические формулы как частные случаи. С другой стороны, на практике они проще и понятнее классических формул, поскольку позволяют отказаться от использования многопараметрической кривой ожидаемой волатильности для описания рынка. Взамен в рассмотрение вводятся только два дополнительных параметра, определяющие кривизну кривых Call и Put опционов. Полученные обобщенные формулы применимы ко всем опционным рынкам. Они значительно упрощают анализ и прогноз изменений цен опционов.

 

Уравнение баланса

Пусть изменение цены базового актива описывается стохастическим дифференциальным уравнением вида:

dF = μFdt + M(F, t)dW,

где F — стоимость базового актива, у — его доходность, t ~ время, W ~ стандартный винеровский процесс.

Назовем величину M(F,t) подвижностью (mobility) базового актива. Ее размерность совпадает с размерностью самого актива. По смыслу понятие подвижности близко к понятию волатильности, однако ее использование более предпочтительно для нас по причинам, которые будут изложены ниже. Сразу отметим, что, положив M(F,t) = σF, мы получим модель геометрического броуновского движения, использованную при выводе формулы Блэка-Шоулза.

Для определенности далее по тексту мы будем говорить только об опционах на фьючерс европейского типа.

На срочном рынке Московской биржи торгуются американские опционы на фьючерсы, поэтому поправки относительно формул для европейских опционов не нужны.

Итак, пусть C(F, t) – справедливая цена европейского Call-опциона на фьючерс с ценой F. Сформируем безрисковый портфель, состоящий из купленного Call и фьючерсов, проданных в количестве ∂С/∂F штук.

Стоимость такого портфеля составит

П = C(F, t) + ∂C/∂F*F.

Используем лемму Ито для записи полного приращения стоимости портфеля

Kurbakovsky_formula_0

Цена акций — случайный процесс, который можно описать стохастическим дифференциальным уравнениeм вида

dS = μ(S, t) dt + σ(S, t) dW

Цена опциона на акцию f зависит от цены акции S. Лемма Ито утверждает, что если есть функция f(S, t), то её приращение df(S, t) можно выразить через частные производные ∂f/∂S, ∂f/∂t и коэффициенты μ(S, t), σ(S, t), причем источник неопределённости dW останется тем же.

No-arbitrage condition. Если df и dS зависят от одного dW, можем составить портфель из акции и опциона на нее, который в период dt будет безрисковым, а значит, будет давать прибыль не более rdt, где r – безрисковая процентная ставка. Полученное параболическое дифференциальное уравнение можно решать, задав краевые (граничные) условия. (LowRisk.ru)

Приравняем приращение стоимости портфеля к приращению стоимости безрискового актива

Kurbakovsky_formula_1

где r – ставка процента без риска.

Назовем (1) уравнением баланса.

 

Обобщенные формулы стоимости

Здесь мы сделаем основное предположение, представив подвижность линейной функцией цены вида:

M(F,t) = a + bF    (2),

где а,b – некоторые заданные константы.

Пока это не более чем предположение, основанное на простых наблюдениях за рынком. О том, насколько оно обоснованно, мы сможем судить позднее, когда появится возможность сравнить полученные расчетные цены с рыночными котировками опционов.

Уравнение баланса (1) принимает вид:

Kurbakovsky_formula_3

Решим уравнение (3) с краевым условием

Kurbakovsky-formula_3a

представляющим цену Call на момент его исполнения, где К — цена исполнения (Strike) опциона, t exp — дата исполнения (Expiration date).

В полученном решении для упрощения его вида заменим переменную а на m формальной подстановкой а = m — bF.

В итоге получим:

Kurbakovsky_formula_4

где

Kurbakovsky-formula_4a

Т = t exp — t – время до исполнения опциона,

Ф() – интегральная функция нормального распределения.

Назовем m ожидаемой подвижностью АТМ опционов (Implied Mobility), b — ожидаемым дрейфом подвижности (Implied Mobility drift). Стоимость Put получим из условия паритета стоимости опционов

Kurbakovsky-formula_5

 

Область определения С, Р ограничена условием m + b(K — F) > 0. Это ограничение не является существенным, поскольку не удовлетворяющие ему цены исполнения К находятся далеко вне зоны торгуемых опционов.

Напомним, что процентную ставку безрискового вложения r следует учитывать только для опционов классического типа, предусматривающих перечисление премии продавцу опциона с возможностью ее размещения на безрисковый депозит. Для маржируемых опционов перечисления премии не предусмотрено. В этом случае следует положить r = 0.

Убедимся в том, что полученные формулы действительно являются обобщением классических формул стоимости опционов.

Положив подвижность соответствующей модели геометрического броуновского движения M(F, t) = σF = а + bF и подставив найденные из этого условия m = σF, b = σ в формулу (4), мы получим знакомую формулу Блэка для Call-опциона на фьючерс.

Kurbakovsky-formula_5a

где

Kurbakovsky-formula_5b

Из модели броуновского движения следует m = σ, b = 0. Предельным переходом при b→0 получим формулу Башелье (r = 0).

Kurbakovsky-formula_5c

Не утомляя читателя выкладками, отметим, что все частные производные («greeks») для обобщенных формул рассчитываются аналитически.

 

Использование обобщенных формул для описания рынков

Попробуем понять, насколько хорошо полученные обобщенные формулы описывают реальные опционные рынки. С этой целью
применим их для аппроксимации официальных цен закрытия контрактов, торгующихся на западных биржах (на российских биржах понятия цены закрытия опционов не существует).

Ожидаемую подвижность АТМ (at the money) опционов для подстановки в формулы (4),(5) найдем из соотношения

Kurbakovsky-formula_6

которое получается из (4) или (5) при К = F, b→0. Здесь С нулевое – высота точки пересечения кривых Call и Put. Подбор коэффициентов дрейфа bс, bр проведем отдельно для кривых Call и Put по методу наименьших квадратов.

Kurbakovsky-risunok_1

Kurbakovsky-risunok_2

На рисунках 1 и 2 приведены результаты аппроксимации очень разных по сути опционов на золото (NYSE LIFFE Gold) и биржевой индекс (СВОТ mini Dow). В обоих случаях разность между ценами, полученными при помощи обобщенных формул, и ценами закрытия минимальна. Аналогичные результаты получаются и для других рынков.

Таким образом, можно утверждать, что трех параметров m, bс, bр первый из которых определяет высоту точки пересечения кривых Call и Put, а два других — степень их кривизны, оказывается вполне достаточно для описания опционных рынков без дополнительной подгонки. Меньшим количеством параметров в общем случае обойтись нельзя (подобно тому, как для описания треугольника нужно знать, например, две стороны и угол между ними). Большего же числа, как показывает практика, не требуется. Все это позволяет утверждать, что полученные обобщенные формулы практически универсальны.

 

Подвижность рынка

Рассмотрим подробнее, что представляет собой введенная выше подвижность M(F,t) и чем, по мнению автора, она удобнее волатильности при описании рынка.

Для произвольного интервала времени Т посчитаем статистическую оценку подвижности базового актива

Kurbakovsky-formula_6a

Здесь n — количество изменений цены актива на интервале Т, a ΔF – изменение цены на i-м шаге.

Оценку Мh, посчитанную на интервале 1 торговый день, назовем исторической дневной подвижностью базового актива. В отличие от исторической волатильности, которая рассчитывается на произвольном интервале времени, дневная подвижность является характеристикой торгового для, отражающей интенсивность торгов.

Kurbakovsky-risunok_3

На рисунке 3 приведены сравнительные графики исторической дневной подвижности фьючерса на индекс PTC (Mh) и ожидаемой подвижности трехмесячных опционов на индекс РТС (m), посчитанной по формуле (6), в период с 21.12.07 по 11.12.08,

Ожидаемая подвижность m, а следовательно, и стоимость АТМ опционов оказывается величиной вполне предсказуемой. Простейший из прогнозов формулируется так: ожидаемая подвижность изменяется в сторону исторической дневной подвижности, которую, в свою очередь, можно непрерывно измерять в реальном времени. Заметим, что аналогичный прогноз, сформулированный для волатильности, гораздо менее достоверен. В хорошей предсказуемости, по мнению автора, первое из преимуществ подвижности.

Далее, подставляя прогнозируемое значение Mh в уравнение баланса (1), составленное для портфеля, мы получаем соотношение, позволяющее предсказать финансовый результат торгового дня:

Kurbakovsky-formula_7

суммарная тета портфеля,

Kurbakovsky-formula_7a

суммарная гамма.

Первое слагаемое в (7) показывает, как за день изменится суммарная стоимость составляющих портфель опционов. Второе слагаемое отражает финансовый результат, который будет получен от торговли базовым активом в процессе непрерывного дельта-хеджирования опционного портфеля (мы не рассматриваем здесь торговлю опционами без хеджирования, считая это занятие несерьезным).

 

Заключение

В настоящей работе предложен новый подход к расчету справедливой стоимости опционов. Он основан на введении в рассмотрение понятия подвижности базового актива, удобной и вполне предсказуемой характеристики активности рынка. Предположение о линейной зависимости, существующей между подвижностью и стоимостью базового актива, приводит к обобщенным формулам, эффективному инструменту анализа и прогноза стоимости опционов.

Единственный недостаток, возникающий при отказе от привычной кривой ожидаемой волатильности, связан с возможностью сравнительного анализа цен опционов по виду этой кривой. Недостаток легко снимается введением в рассмотрение понятия ожидаемой подвижности опциона — значения М, которое нужно подставить в уравнение баланса (1) для конкретного опциона с тем, чтобы превратить его в тождество. Совокупность таких значений образует гладкую кривую — аналог кривой ожидаемой волатильности.

Таким образом, три интуитивно понятных параметра m, bс, bр позволяют полностью описать любые опционные рынки. Поведение параметров хорошо предсказуемо во времени, что позволяет прогнозировать поведение рынка опционов в целом.